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Um dos grandes problemas relacionados ao ensino da Matemática está na assimilação de algumas fórmulas utilizadas em determinadas resoluções. Os alunos demonstram resistência em memorizar expressões matemáticas. A equação do 2º grau é um exemplo de conteúdo matemático que requer o uso de uma fórmula prática para a determinação do conjunto solução.
Diante dessa situação, o licenciado precisa criar mecanismos capazes de solucionar a problemática da memorização das fórmulas. No caso das equações do 2º grau, o professor deve apresentar ao aluno outras formas de resolver uma equação do 2º grau. Entre os métodos mais conhecidos, verificaremos a utilização do trinômio quadrado perfeito e a composição de uma equação do 2º grau por meio da soma e do produto das raízes.
Trinômio quadrado perfeito
A equação x² – 14x + 49 = 0 é considerada um trinômio quadrado perfeito, pois podemos escrevê-la de acordo com o seguinte produto notável: (x – 7)².
Regra prática:
(x – 7)² = x² – 2 * 7 * x + 7² = x² – 14x + 49
Aplicando distribuição:
(x – 7) * (x – 7) = x² – 7x – 7x + 49 = x² – 14x + 49
Determinando a raiz de acordo com (x – 7)²:
(x – 7)² = 0
x – 7 = 0
x’ = x’’ = 7
Nas equações que podem ser escritas sob a forma (ax + b)², teremos sempre duas raízes reais e iguais.
Soma e produto de raízes
Uma equação do 2º grau possui coeficientes numéricos a, b e c. O coeficiente b é relacionado à soma das raízes e o coeficiente c ao produto entre as raízes. Então, temos a seguinte lei de formação partindo da ideia da soma e do produto das raízes: x² – Sx + P = 0.
Mostre ao aluno como determinar a raiz de uma equação utilizando essa regra. Vamos determinar as raízes da equação x² – 9x + 20 = 0.
Nessa equação, as raízes são tais que, a soma precisa ser igual a 9 e o produto igual a 20. Basta descobrir os números que se encaixam nessa situação, indicando a resolução por meio de um cálculo mental.
Cálculo mental
Números em que a soma é igual a 9 e o produto é igual a 20 → x = 5 e x = 4.
5 + 4 = 9
5 * 4 = 20
A forma fatorada de x² – 9x + 20 = 0 é dada por (x – x’) * (x – x’’), na qual: (x – 5) * (x – 4).
Observe outro exemplo.
Determinar as raízes da equação x² – 6x – 27 = 0
Soma = 9 – 3 = 6
Produto = 9 * (–3) = 27
Forma fatorada = (x – x’) * (x – x’’) = (x – 9) * (x + 3)
As raízes são x’ = 9 e x’’ = –3
Deixe bem claro que uma equação do 2º grau pode ser resolvida mediante essas técnicas, mas em alguns casos, a melhor forma de obter as raízes é utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara, principalmente quando os resultados são frações e números na forma de radical.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola